Мат ожидание константы

Содержание
  1. Мат ожидание: примеры с решением
  2. Пример 7.1
  3. Задача с решением:
  4. Пример 7.3
  5. Пример 7.4
  6. Пример 7.5
  7. Пример 7.6
  8. Пример 7.7
  9. Пример 7.8*
  10. Пример 7.9
  11. Пример 7.10
  12. Пример 7.11
  13. Пример 7.12
  14. Пример 7.13*
  15. Пример 7.14
  16. Пример 7.15
  17. Пример 7.16
  18. Теория вероятностей и антропогенный фактор
  19. Общая информация
  20. Суть
  21. Случай раз
  22. Случай два
  23. Лотерея
  24. Очень крупная лотерея
  25. Последний пример
  26. Ну и что в итоге?
  27. Математическое ожидание случайной величины – свойства, формула и примеры нахождения
  28. Основы теории
  29. Ключевые особенности дисперсии
  30. Зависимость итога от количества экспериментов
  31. Доступное программное обеспечение
  32. Формула математического ожидания дискретной и случайной величины: расчет и пример
  33. Основные формулы для математического ожидания
  34. Примеры вычисления математического ожидания
  35. Практическая реализация математического ожидания
  36. Использование математического ожидания на Форекс
  37. 18. Математическое ожидание случайной величины и его свойства. Примеры
  38. Свойства математического ожидания
  39. Доказательство:

Мат ожидание: примеры с решением

Мат ожидание константы

Распределение вероятностей случайной величины представляет собой достаточно сложный для описания и статистической оценки объект.

Это делает желательным введение каких-либо интегральных характеристик, вбирающих в себя наиболее существенные для решения тех или иных задач черты распределения. К их числу относится математическое ожидание или среднее значение сл. в. .

Пусть для начала сл. в. определена на вероятностном пространстве с конечным числом равновозможных исходов.

Среднее арифметическое значение по всем N точкам пространства Q называется средним значением или математическим ожиданием сл. в. X и обозначается

где —равномерное распределение вероятностей на

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теории вероятности:

Предмет теория вероятности

Пример 7.1

Задача. Сл. в. X — число красных шаров в л-кратной выборке с возвращением из урны с долей р красных шаров. Найти MX.

За пространство элементарных событий примем множество всех последовательностей из номеров извлекаемых шаров, так что и (см. 1.21)

Пусть — произвольное дискретное вероятностное пространство, — случайная величина. В предположении, что

определим математическое ожидание сл. в. X формулой

Как и в 7.1, получаем следующую формулу для вычисления математического ожидания:

[attention type=yellow]

Если р(х) — произвольное дискретное распределение вероятностей, заданное на некотором подмножестве то число

[/attention]

в предположении, что ряд абсолютно сходится, называется средним значением распределения р(х). Отметим, что математическое ожидание сл. в. X есть в то же время среднее значение ее распределения вероятностей рх(х).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Задача с решением:

Вычислить средние значения: (I). гипергеометрического распределении (II) отрицательного биномиального распределения (III) пуассоновского распределения

Роль математического ожидания как характеристики распределения вероятностей в немалой степени связана с тем, что, как и вероятность, это понятие имеет статистическое толкование.

Заметим прежде всего, что если сл. в. X — индикаторная, то так что эмпирический закон устойчивости частот можно записать в виде последовательность повторных независимых наблюдений за сл. в. X.

Обобщая, рассмотрим дискретную сл. в. X, принимающую конечный набор значений , с вероятностями . Обозначив частоту исхода а, в последовательности наблюдений и записав равенство

применим эмпирический закон устойчивости частот к каждой из .

Отсюда возникает приближенное равенство

выражающее возможность статистической оценки среднего значения случайной величины по результатам повторных независимых наблюдений. Статистическая устойчивость средних арифметических не зависит от частных предположений о распределении сл. в. X, лишь бы существовало математическое ожидание, и представляет собой эмпирический закон, подтверждаемый всем опытом естествознания.

Математическое ожидание дискретной случайной величины, заданной на произвольном пространстве , определяется

[attention type=red]

с помощью формулы, которая использовалась выше для вычисления математического ожидания. Именно, пусть сл. в. X принимает значения . Введем разбиение пространства , полагая , и определим математическое ожидание сл. в. X как сумму ряда

[/attention]

в предположении, что он абсолютно сходится. Отметим, что если сл. н. X постоянна с вероятностью 1, то MX равно этой постоянной.

Пример 7.3

Задача. Сл. в. X принимает целые неотрицательные значения. Вывести формулу

Отметим, что на первом шаге была использована счетная аддитивность вероятностной меры.

Пример 7.4

Задача. Пусть — некоторое разбиение пространства элементарных событий при

Предположим, что сл. в. X постоянна на элементах разбиения: Вывести формулу

[Пусть — набор различных значений дискретной

сл. в. . Воспользовавшись представлениями

которые вытекают из счетной аддитивности меры (впрочем, второе равенство, ввиду при некотором i, тривиально), получаем

где мы учли, что при значениях , для которых (и, следовательно, , выполнено равенство при . Таким образом, если MX существует, то ряд абсолютно сходится и имеет место требуемое равенство. Проводя рассуждения в обратную сторону, получаем, что из абсолютной сходимости ряда вытекает существование MX и требуемое равенство.)

Пример 7.5

Задача. Вывести формулы , если MX и МУ существуют (линейность операции MX).

[Пусть — наборы значений сл. в. X, У соответственно,

Сл. в. Х+У постоянна на элементах разбиения

и принимает значение . Применяя 7.4, получаем

в предположении, что ряд в правой части абсолютно сходится. Но поскольку MX, МУ существуют, то из 7.4 вытекает, что

причем ряды абсолютно сходятся. Складывая, получаем требуемый результат.

Пример 7.6

Задача. Вычислить среднее значение биномиального и гипергеометрического распределений (см. 7.2), представив соответствующие случайные величины в виде суммы индикаторов.

[(I) Пусть — последовательность испытаний

Бернулли. Тогда сл. в. имеет биномиальное распределение, и так как (II) Полагая =l, если i-й вытащенный шар в схеме повторного выбора без возвращения красный, имеем — число красных шаров в выборке объема, п — имеет гипергеометрическое распределение, р — доля красных шаров.

Пример 7.7

Задача. Вычислить математическое ожидание отрицательной биномиальной случайной величины, представив ее как сумму геометрически распределенных случайных величин (см. 4.6).

[Пусть , — независимые случайные величины с геометрическим распределением Тогда

откуда , имеет отрицательное биномиальное распределение (см. 4.6).

Пример 7.8*

Задача. Вывести формулу для вероятности объединения событий {принцип включения — исключения);

вводя индикаторные сл. в. при , и пользуясь соотношениями

Воспользовавшись свойством линейности математического ожидания 7.5, получаем требуемый результат.

Пример 7.9

Задача. Найти вероятность того, что при случайном размещении п писем по п конвертам хотя бы одно письмо попадет в свой конверт, воспользовавшись формулой 7.8.

[Пусть событие Л,- означает, что письмо с номером i попало в нужный конверт. Легко подсчитать, что

Заметим, что при эта вероятность стремится к причем уже для небольших л близость к предельному значению весьма хорошая: при n=5 погрешность приближения составляет около 0,001, а при n=7 — около 0,00002.

Пример 7.10

Задача. Сл. в. Z=g(X) — функция набора дискретных

сл. в. . Вывести формулу

Сл. в. У принимает постоянное значение g(x) на элементе разбиения, порождаемого сл. в. X. Остается воспользоваться результатом 7.4.

Пример 7.11

Задача. Сл. в. X, У независимы. Показать, что

существуют.

[Ввиду 7.10 имеем

при условии, что ряд абсолютно сходится. Но ряды

абсолютно сходятся, откуда и получаем требуемый результат.

Пример 7.12

Задача. Показать, что: (I) если и существует МУ, то существует (III) если предполагается, что MX и МУ существуют).

Все свойства вытекают непосредственно из определения математического ожидания. Кроме того, (III) вытекает из (II) и 7.5, (IV) вытекает из (III) и неравенств —. Отметим, что, как следует из определения, М|Х| существует, если существует MX.

Пример 7.13*

3адача. Пусть

— производящая функция (п. ф.) сл. в. X. Показать, что

[Дифференцируя при , имеем

Если MX существует, то ряд сходится и существует (теорема Абеля). Обратно:

следовательно, MX существует, далее используем прямое утверждение.

Пример 7.14

Задача. Вывести соотношение для п. ф. суммы Х+У независимых сл. в. X, У, пользуясь свойством математического ожидания произведения независимых случайных величин.

Пример 7.15

Задача. Сл. в. N с целыми неотрицательными значениями не зависит от последовательности сл. в. Хь Х2, … . Обозначим SN случайную величину, которая при каждом , таком, что принимает значение , а при — равна нулю. Предполагая, что при всех i, вывести формулу (если NIN существует).

Пример 7.16

Задача. Сл. в. . независимы, принимают целые неотрицательные значения, сл. в. одинаково

распределены, сл. в. Показать, что п. ф. сл. в. равна — п- Ф- сл. в. соответственно.

[Аналогично 7.15 имеем

Ввиду 7.14 внутренняя сумма равна

откуда и получаем требуемый результат.

Перейдем к определению математического ожидания произвольной сл. в. , заданной на некотором вероятностном пространстве Напомним, что числовая функция называется случайной величиной, если для любого промежутка множество является событием, т. е. принадлежит классу . Соотношение

определяет вероятностную меру на классе промежутков (в § 10 будет показано, что это соотношение сохраняется, если 1а,ь заменить на любое борелевское множество из R).

Распределения вероятностей в R общего вида изучались в § 6, непрерывные распределения вероятностей на прямой были введены в § 3.

При этом мы руководствовались соображением, что измерение величин, наблюдаемых при проведении любого, в том числе вероятностного, опыта производится с некоторой точностью и что любая непрерывная модель должна обладать

Источник: https://natalibrilenova.ru/mat-ozhidanie/

Теория вероятностей и антропогенный фактор

Мат ожидание константы

Среди людей бытует мнение, что человек, поступивший на математический факультет, обязательно выйдет оттуда учителем математики. Это не я придумал, это по опыту, ибо довольно большое количество не очень образованных людей спрашивало, куда я собираюсь идти работать после окончания ВУЗа.

Разумеется, найти можно и куда более обширные области применения своих знаний. Одна из них связана с теорией вероятности. Я не хочу вникать в сложные подробности предмета, т.к. люди, не имеющие нужной математической базы, скорее всего запутаются. Но и говорить совсем ни о чем не хочется.

Поэтому я хочу написать про связь человека и этой самой теории вероятностей, причем на простом, понятном любому языке. Если интересно — прошу под кат.

Общая информация

Я все же введу пару определений, чтобы хоть немного формализовать написанное.

1) Если имеется несколько возможных случайных исходов, «равновозможных» между собой, то классическая вероятность — это отношение количества «хороших» случайных (элементарных) событий к их общему количеству. Например, если у вас есть 5 шариков, 2 из которых белые, то вероятность взять именно белый шар будет равняться 2/5.

2) Случайная величина — это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причем появление того или иного значения этой величины до ее измерения нельзя точно предсказать. Классический пример — игральная кость. Кидая ее, можно случайно получить одно из шести возможных значений.
3) Математическое ожидание случайной величины — это сумма всех возможных ее значений, помноженных на их вероятность. Говоря простым языком, это «среднее значение» принимаемой случайной величины. Для игральной кости оно равно (1+2+3+4+5+6)*1/6=3.5. Что нам это дает? То, что кидая кость много (например 100) раз, в среднем каждый раз будет выпадать 3.5, а в сумме выпадет примерно 100*3.5=350. При увеличении количества бросков, относительная погрешность реального результата и его математического ожидания, помноженного на количество бросков, будет уменьшаться все сильнее.

Суть

Теперь суть того, что я, собственно, хотел рассказать: математические подсчеты довольно хорошо прогнозируют разные события, если они напрямую не зависят от выбора человека.

Если же вмешивается антропогенный фактор, то строить какие-то планы, опираясь только на теорию вероятности нужно с осторожностью. Приведу пару простых примеров.

Возможно они немного надуманные, но зато простые и понятные.

Случай раз

Вам во время пары в универе (урока в школе, рабочего дня) стало скучно и Вы предложили соседу по парте (коллеге по работе) сыграть в следующую игру: подбрасываете монетку; если выпал орел — Ваш друг платит вам 5 рублей, если же выпала решка, то Вы платите 5 рублей. От скуки человек может и согласиться.

Вы будете играть так весь день, а в конечном итоге оба останетесь практически при тех же деньгах, что были изначально. Вероятность выпадения любой стороны монетки 1/2 и, как следствие, математическое ожидание Вашего выигрыша равно нулю. Так что в среднем выигрыш/проигрыш будет в районе плюс-минус 10 рублей. Ну, может быть, немногим больше.

В любом случае, для бюджета не критично.

Случай два

Ситуация та же, но вы предложили за проигрыш платить не по 5, а по 1000 рублей. Скорее всего ваш друг/коллега откажется. Ибо не хочется просто так потерять ощутимую сумму денег.

Что же изменилось? Математическое ожидание выигрыша по-прежнему равно нулю. С точки зрения математики все практически то же самое.

А тут уже вмешался человеческий фактор, и Ваш план скоротать скучный день провалился.

Лотерея

Вы решили организовать лотерею. Сделали билеты ценой по 10 рублей с пятидесятипроцентным шансом выиграть 15. Математическое ожидание выигрыша равно 15*0.5=7.5 рублей, но так как билет стоит 10, получается -2.5 рубля. Да, клиенту не очень выгодно, но ведь Вы не собираетесь работать себе в убыток, правда? Однако вряд ли такая лотерея будет пользоваться популярностью.

Потому что предлагается потратить 10 рублей с сомнительным шансом выиграть 15. Разница-то невелика. Вы меняете условия и делаете лотерею практически благотворительной. Теперь выигрыш 25 рублей. Математическое ожидание выигрыша минус стоимость билета — 2.

5 рубля! Вы даже останетесь в убытке! Но народ в большинстве своем по-прежнему не будет жаловать Вашу лотерею, ибо выигрыш немногим больше цены билета. В лотерею будут играть разве что школьники, которым не хватает мелочи на мороженное. В то же время Ваш предприимчивый сосед тоже устраивает свою лотерею. Только он берет за билет 50 рублей, а выигрышем является автомобиль стоимостью 500000 руб.

Вероятность выигрыша — 0.001%. Математическое ожидание выигрыша — 5 рублей. Минус стоимость билета, получим -45 рублей. Да лотерея соседа просто грабительна! Продав достаточно большое количество билетов, даже разыграв при этом автомобиль, он все равно знатно разбогатеет.

Люди же вполне могут покупать билеты, ведь что такое 50 рублей перед перспективой получить задаром неплохой автомобиль? Читатель может решить, что дело просто в количественном размере выигрыша. Но это далеко не обязательно. Приведу еще один довольно надуманный, но показательный пример:

Очень крупная лотерея

Вам предлагают подарок неслыханной щедрости. «Супер-лотерею». Одну из двух, на выбор. Сыграть в нее можно только один раз. В первой «лотерее» Вам гарантированно выплачивают миллион долларов. А во второй с 50% шансом Вы получите 2 миллиона, с 40% шансом миллион и с 10% шансом уйдете ни с чем. Математическое ожидание выигрыша в первой «лотерее» 1 миллион.

Во второй — 1.4 миллиона. Но что же Вы выберете? Может кто-то и выберет второй вариант, но проведение опроса среди некоторого количества людей покажет, что большинство наверняка выберет первый вариант. Ведь, как говорится, лучше синица в руках… Тем более, если синица — это миллион, а во второй «лотерее» есть шанс не получить ничего.

И гипотетические 2 миллиона ничего не решают.

Последний пример

Вы написали хорошее и качественное приложение для телефона. Потратили много сил и средств. Вы выставляете его в магазин по цене $9.99. Для такого качественного продукта это, вроде бы, не очень много. Да и Вам нужно окупиться и подзаработать. Но Ваше приложение никто не покупает.

Люди сочли, что это дорого. Загрузки минимальны. Вы в отчаянии снижаете цену до $0.99. Фурор, люди скачивают Вашу программу только так, но денег с них идет недостаточно. Тогда Вы вновь поднимаете цену, но уже до $4.99.

Да, поток скачиваний снижается относительно самой низкой цены, но все же он выше, чем вначале. И о чудо, Вы получаете вполне неплохую прибыль с Вашего продукта. С точки зрения примитивных подсчетов, количество желающих иметь эту программу всегда было одним и тем же.

Однако Вы снизили цену относительно первоначальной, а прибыли увеличились. Снова чисто человеческий фактор.

Ну и что в итоге?

В итоге, с одной стороны, математические подсчеты могут дать не совсем очевидные с точки зрения математики результаты. Человек может из почти одинаковых условий выбирать строго одно, а среди нескольких предложений брать более невыгодное для себя. Почему? Так устроен человек.

Выгода одного конкретного человека не всегда может быть просто так подсчитана. С другой стороны, если смотреть с точки зрения различных фирм, корпораций и т.д., то имея множество клиентов, можно получать неплохие деньги, даже если с точки зрения математики предложение для клиента не самое выгодное.

Именно поэтому существуют банки, лотереи, страховые компании. И люди берут кредиты под дикие проценты, покупают сомнительные лотерейные билеты и страхуют вещи, с которыми, скорее всего, все будет в порядке.

А значит, пытаясь применить по отношению к людям какие-то подсчеты «в тупую», мысля как робот, скорее всего, ничего путного и полезного не выйдет. Но ежели действовать с умом, представить себя на месте других людей, то можно горы свернуть и миллиарды заработать с помощью математики.

В общем, думайте как люди, но про математику тоже не забывайте.

P.S. Если я где-то написал какую-то ерунду (примеры-то из головы брал), сильно не пинайте, скажите. Мне интересно мнение других людей.

  • математика
  • теория вероятностей

Хабы:

  • 24 февраля 2016 в 23:10
  • 8 октября 2015 в 00:17
  • 6 июля 2015 в 20:44

Источник: https://habr.com/ru/post/178817/

Математическое ожидание случайной величины – свойства, формула и примеры нахождения

Мат ожидание константы

Чтобы понять смысл условного математического ожидания случайной величины, необходимо изучить ряд правил, а также ознакомится с примерами, дабы в будущем можно было избежать грубых ошибок. Одной из важнейших числовых характеристик дискретной величины является матожидание.

Для изучения всех нюансов необходимо ввести понятие системы случайных процессов. Если представить значение в виде графика, то итоговое ожидание будет выступать в виде некоторого центра массы, изображённой на графике фигуры.

Для решения классической задачи можно задействовать следующую формулу: Е (х) = Х1О1 + Х1О2 + … + Х n О n.

Расшифровка формулы выглядит следующим образом:

  • Е (х) — это точное значение матожидания величины Х.
  • Ха — показатель величины случайного типа при конкретном исходе а.
  • О — вероятность исхода а.
  • n — количество возможных вариантов исходов.

В теории вероятности специалистам удалось доказать, что среднее значение постоянной величины даже после многочисленных испытаний всё равно будет стремиться к матожиданию. В некоторых случаях результат может быть отрицательный.

А это значит, что если количество итоговых испытаний слишком велико, то среднее значение обязательно будет равно матожиданию (прогноз среднего значения).

Для более тщательного изучения темы специалисты рекомендуют использовать следствие (теорема с небольшим доказательством, которое следует из другой теоремы).

Гораздо проще разобраться в этой теме в том случае, если изучить наглядный пример.

[attention type=green]

Если человек несколько раз бросит самый обычный шестигранный игральный кубик, и будет записывать все выпавшие значения, то при большом количестве испытаний можно получить число 3,5.

[/attention]

Аналогичный результат будет достигнут и в том случае, если просчитать матожидание. Подсчёт выглядит следующим образом:

  • Р1 = Р2 … = Р6 = 1/6. Это число указывает на вероятность выпадения одной из граней игрального кубика и все они равны, так как у качественного кубика вероятность выпадения каждой грани абсолютно одинаковая.
  • Ха = а — формула указывает на то число, которое может выпасть на кубике.
  • n = 6 — точное число граней кубика либо количество вариантов.

Правильный подход позволяет составить закон распределения случайных магнитуд выигрыша. Классическая формула математического ожидания часто используется для качественной оценки рентабельности какой-либо деятельности. Этот математический подход также используется на рынке ФОРЕКС при прогнозировании реальной суммы дохода какой-либо торговой стратегии опытных трейдеров.

Основы теории

Для случайной непрерывной величины незаменимая механическая интерпретация матожидания всегда сохраняет основное своё правило: центр массы соответствует единичной массе, которая непрерывным образом распределена на оси абсцисс g (a). В отличие от распространённой независимой величины, у которой итоговый аргумент функции х может меняться скачкообразно, у непрерывной величины аргумент таким колебаниям не подвержен.

Чтобы отыскать матожидание и дисперсию непрерывной случайной величины, обязательно нужно найти определённые интегралы.

Если по условиям задачи была дана функция плотности величины непрерывного типа, то она обязательно входит в подынтегральное выражение.

Когда дана функция распределения вероятностей, тогда обязательно нужно найти функцию плотности. Количество испытаний константы равно самой константе.

Арифметическое среднее всех задействованных значений непрерывной величины называется её матожиданием, что тоже нужно запомнить. Величина интеграла называется дисперсией непрерывной случайной величины.

Среднее квадратичное произведение непрерывной величины всегда определяется специалистами как арифметическое значение квадратного корня из дисперсии. Только тщательное изучение всех правил поможет решать все поставленные математические задачи без допущения ошибок.

Ключевые особенности дисперсии

За дисперсию принято понимать средний квадрат отклонений полученных значений признака от среднего арифметического числа. Для обозначения используется одна заглавная латинская буква D.

Для правильного расчёта дисперсии необходимо посчитать разность между имеющимся числом и средним арифметическим, чтобы в итоге возвести результат в квадрат.

Значений получится столько, сколько может быть реальных исходов у рассматриваемого события. После этого остаётся только просуммировать все полученные данные и разделить на количество элементов в последовательности.

[attention type=yellow]

Если максимальное количество исходов приравнивается к 5, тогда делить нужно именно на эту цифру.

[/attention]

У дисперсии также есть свойства, которые обязательно нужно знать, чтобы решать различные математические задачи. К примеру:

  • при увеличении случайной величины в Х раз, тогда дисперсия увеличится в Х раз;
  • дисперсия никогда не бывает меньше нуля и не зависит от сдвига значений в большую или меньшую сторону.

К примеру: нужно представить, что был проведён 21 эксперимент и в итоге 7 разных исходов. Первым делом нужно рассчитать среднее арифметическое: сумма элементов равняется 21. Эту цифру нужно разделить на 7. В результате получится цифра 3.

После этого из каждого числа исходной последовательности нужно вычесть 3. Каждое значение возводят в квадрат, а результат слаживают вместе. Если всё сделать правильно, то в итоге можно получить 12.

На финальном этапе остаётся разделить число на количество элементов.

Зависимость итога от количества экспериментов

Эксперты утверждают, что при правильном расчёте дисперсии в знаменателе может стоять одно из двух предложенных чисел: N или N -1. На точное число проведённых экспериментов указывает запись N.

Если итоговое количество испытаний измеряется сотнями, то в знаменателе должно стоять только N. Ну а если единицами, то N -1. Учёные решили провести весьма символическую границу между этими двумя показателями, так как на сегодняшний день она достигает цифры 30.

Если же количество экспериментов не достигло этой отметки, то делить сумму нужно только на N-1, а если больше — то на N.

Многочисленные свойства математического ожидания очень важны для правильного решения поставленных задач. Для изучения этой темы необходимо знать, что собой представляет квадратическое отклонение.

Для обозначения этого термина используются буквы sd, либо греческая строчная «сигма». Квадратическое отклонение отображает то, насколько именно отклоняются значения от центрального признака.

Если в основе лежит нахождение нужного значения, тогда следует постараться правильно рассчитать квадратный корень из дисперсии.

Можно построить график равномерного распределения, чтобы непосредственно на нём увидеть реальную величину среднего квадратного отклонения. Для этих целей необходимо выполнить несколько несложных заданий.

[attention type=red]

Нужно взять половину изображения справа и слева от моды (центральное значение), дабы постараться провести перпендикуляр к горизонтальной оси так, чтобы площади получившихся фигур были абсолютно равными.

[/attention]

Размер отрезка между серединой распределения и получившейся проекцией на горизонтальную ось и будет самое обычное среднее квадратичное отклонение.

Математики склонны утверждать, что средние величины представляют собой своего рода отвлечённую величину. Отвлекаясь от определённых величин каждого варианта, эти числа отлично отображают общее положение, которое присуще всей совокупности единиц. В некоторых случаях можно наблюдать, что величина не имеет какого-либо равенства ни с одним из конкретных вариантов распространённых вариантов.

К примеру: среднее число членов одной семьи приравнивается к 4,85. Этот показатель был получен на основе исчисления соответствующей совокупности данных.

Число не имеет ничего общего с определённым составом конкретной семьи, так как дробного числа членов семьи быть не может. В этом случае принято понимать за основу показатель средней величины состава семьи.

Возле дробного числа группируются реальные варианты.

Когда стоит задача определить какую-либо абстрактную величину, тогда можно смело задействовать величины конкретных вариантов, содержащихся в рассматриваемой совокупности величин.

Именно эти величины занимают определённое место в ранжированном ряду индивидуальных значений признака. Такими величинами чаще всего являются медиана, а также мода.

Мода — это самая распространённая величина, которую принято обозначать символами Мо.

Мода как величина в прерывистом ряду всегда определяется на примере выявления самого большого процента мужчин, которые носят одинаковый размер обуви. После несложных математических действий можно понять, что большинство мужчин носят обувь 40 размера. А это значит, что Мо = 40, модой является сорок первый размер обуви.

А вот когда необходимо отыскать достоверную медиану, то первым делом нужно постараться найти один из центральных вариантов рассматриваемой совокупности. На примере изучаемого варианта за основу будет взят эксперимент, в котором участвовали 100 человек: 100:2 = 50.

[attention type=green]

После этого по накопленным частотам выполняют определение достоверной величины пятидесятого ряда. Если следовать накопленной частотности, то полученная цифра будет находиться между 41 и 69 позициями.

[/attention]

Это значит, что 50-й член ряда имеет величину 40 (Ме = 40-й размер обуви).

Доступное программное обеспечение

Из всех перечисленных правил и формул можно сделать вывод, что используемое математическое ожидание обозначается самым простым образом, но в этой теме нужно хорошо разбираться. Правильные расчёты дисперсии и математического ожидания — это не самая простая задача, с арифметической точки зрения.

Чтобы не тратить драгоценное время на поиски решения можно воспользоваться специальной онлайн-калькулятор, которая активно используется в высших учебных заведениях. Это программное обеспечение носит название R. В ней предусмотрено наличие специальных функций, которые позволяют рассчитать значения для многих понятий из статистики и теории вероятности.

К примеру: пользователь может указать конкретный вектор значений. Это делается следующим образом: vector

Источник: https://nauka.club/matematika/matematichesko%D0%B5-ozhidani%D0%B5.html

Формула математического ожидания дискретной и случайной величины: расчет и пример

Мат ожидание константы

Понятие математического ожидания можно рассмотреть на примере с бросанием игрального кубика. При каждом броске фиксируются выпавшие очки. Для их выражения используются натуральные значения в диапазоне 1 – 6.

После определенного количества бросков при помощи не сложных расчетов можно найти среднее арифметическое значение выпавших очков.

Также, как и выпадение любого из значений диапазона, эта величина будет случайной.

А если увеличить количество бросков в несколько раз? При больших количествах бросков среднее арифметическое значение очков будет приближаться к конкретному числу, получившему в теории вероятностей название математического ожидания.

Итак, под математическим ожиданием понимается среднее значение случайной величины. Данный показатель может представляться и в качестве взвешенной суммы значений вероятной величины.

Это понятие имеет несколько синонимов:

  • среднее значение;
  • средняя величина;
  • показатель центральной тенденции;
  • первый момент.

Иными словами, оно является ничем иным как числом вокруг которого распределяются значения случайной величины.

В различных сферах человеческой деятельности подходы к пониманию математического ожидания будут несколько отличаться.

Оно может рассматриваться как:

  • средняя выгода, полученная от принятия какого-то решения, в том случае, когда такое решение рассматривается с точки зрения теории больших чисел;
  • возможная сумма выигрыша либо проигрыша (теория азартных игр), рассчитанная в среднем для каждой из ставок. На сленге они звучат как «преимущество игрока» (позитивно для игрока) либо «преимущество казино» (негативно для игрока);
  • процент прибыли, полученной от выигрыша.

Матожидание не является обязательным для абсолютно всех случайных величин. Оно отсутствует для тех у которых наблюдается расхождение соответствующей суммы или интеграла.

Как и любому статистическому параметру, математическому ожиданию присущи свойства:

  • в случае, когда речь идет о постоянной величине С, ее математическое ожидание равно этой постоянной Мс=С;
  • вычисленное для суммы случайных независимых величин математическое ожидание будет равняться сумме математических ожиданий данных величин M(х+у)=Мх+Му;
  • вычисленное для произведения случайных независимых величин математическое ожидание будет равняться произведению математических ожиданий данных величин M(х•у)=Мх•Му;
  • при наличии постоянного множителя его можно располагать перед знаком математического ожидания М(СХ)=СМ(Х).

Основные формулы для математического ожидания

Вычисление математического ожидания может выполняться как для случайных величин, характеризующихся как непрерывностью (формула А), так и дискретностью (формула Б):

  1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, где xi – значения случайной величины, pi – вероятности:
  2.  M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, где f(x) – заданная плотность вероятностей.

Примеры вычисления математического ожидания

Пример А.

Можно ли узнать средний рост гномов в сказке о Белоснежке. Известно, что каждый из 7 гномов имел определенный рост: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 и 0,81 м.

Алгоритм вычислений достаточно прост:

  • находим сумму всех значений показателя роста (случайная величина): 1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
  • полученную сумму делим на количество гномов: 6,31:7=0,90.

Таким образом, средний рост гномов в сказке равен 90 см. Иными словами таково математическое ожидание роста гномов.

Пример Б.

Рассчитать математическое ожидание для случайной дискретной величины при ее заданных значениях (х) и их вероятностях (р): х -4 6 10

р 0,2 0,3 0,5

Рабочая формула — М(х)=4•0,2+6•0,3+10•0,5=6

Практическая реализация математического ожидания

К вычислению статистического показателя математического ожидания прибегают в различных сферах практической деятельности. В первую очередь речь идет о коммерческой сфере. Ведь введение Гюйгенсом этого показателя связано с определением шансов, которые могут быть благоприятными, либо напротив неблагоприятными, для какого-то события.

Этот параметр широко применяется для оценки рисков, особенно если речь идет о финансовых вложениях.
Так, в предпринимательстве расчет математического ожидания выступает в качестве метода для оценивания риска при расчете цен.

Также данный показатель может использоваться при расчете эффективности проведения тех или иных мероприятий, например, по охране труда. Благодаря ему можно вычислить вероятность наступления события.

Еще одна сфера применения данного параметра – менеджмент. Также он может рассчитываться при контроле качества продукции. Например, при помощи мат. ожидания можно рассчитать возможное количество изготовления бракованных деталей.

Незаменимым мат.ожидание оказывается и при проведении статистической обработки полученных в ходе научных исследований результатов.

Он позволяет рассчитать и вероятность проявления желательного либо нежелательного исхода эксперимента или исследования в зависимости от уровня достижения поставленной цели.

Ведь ее достижение может ассоциироваться с выигрышем и выгодой, а ее не достижение – в качестве проигрыша либо убытка.

Использование математического ожидания на Форекс

Практическое применение данного статистического параметра возможно при проведении операций на валютном рынке. С его помощью можно осуществлять анализ успешности торговых сделок. При чем увеличение значения ожидания свидетельствует об увеличении их успешности.

Также важно помнить, что математическое ожидание не должно рассматриваться в качестве единственного статистического параметра используемого для анализа работы трейдера. Использование нескольких статистических параметров наряду со средним значением повышает точность проводимого анализа в разы.

Данный параметр хорошо зарекомендовал себя при мониторинговых наблюдениях за торговыми счетами. Благодаря ему выполняется быстрая оценка работ, осуществляемых на депозитном счете.

В тех случаях, когда деятельность трейдера удачна и он избегает убытков, пользоваться исключительно расчетом математического ожидания не рекомендуется.

В этих случаях не учитываются риски, что снижает эффективность анализа.

Проведенные исследования тактик трейдеров свидетельствуют о том, что:

  • наиболее эффективными оказываются тактики, базирующиеся на случайном входе;
  • наименее эффективны – тактики, базирующиеся на структурированных входах.

В достижении позитивных результатов не менее важны:

  • тактика управления капиталом;
  • стратегии выходов.

Используя такой показатель как математическое ожидание можно предположить каким будет прибыль либо убыток при вложении 1 доллара. Известно, что этот показатель, рассчитанный для всех игр, практикуемых в казино, в пользу заведения. Именно это позволяет зарабатывать деньги. В случае длинной серии игр вероятность потери денег клиентом существенно возрастает.

Игры профессиональных игроков ограничены небольшими временными промежутками, что увеличивает вероятность выигрыша и снижает риск проигрыша. Такая же закономерность наблюдается и при выполнении инвестиционных операций.

Инвестор может заработать значительную сумму при положительном ожидании и совершении большого количества сделок за небольшой временной промежуток.

[attention type=yellow]

Ожидание может рассматриваться как разница между произведением процента прибыли (PW ) на среднюю прибыль (AW) и вероятность убытка (PL) на средний убыток (AL).

[/attention]

В качестве примера можно рассмотреть следующий: позиция – 12,5 тыс. долларов, портфель — 100 тыс. долларов, риск на депозит – 1%. Прибыльность сделок составляет 40% случаев при средней прибыли 20%. В случае убытка средние потери составляют 5%. Расчет математического ожидания для сделки дает значение в 625 долларов.

[ratings]

Источник: https://forex365.ru/indicators/formula-matematicheskogo-ozhidaniya.html

18. Математическое ожидание случайной величины и его свойства. Примеры

Мат ожидание константы

Внекоторых случаях закон распределенияслучайной величины неизвестен, илипросто целесообразно использовать нетаблицу или функцию распределения дляпредставления случайной величины, атак называемые числовые характеристикиее распределения, в частности математическоеожидание.

Математическоеожидание дискретнойслучайной величины – это сумма парныхпроизведений всех возможных ее значенийна соответствующие вероятности:

,

где .

Очевидно,математическое ожидание случайнойвеличины неизменится, если таблицу значений этойслучайной величины пополнить конечнымчислом любых чисел, считая, что вероятностиэтих чисел равны нулю.

Математическоеожидание случайнойвеличины есть величина постоянная ипоэтому представляет числовуюхарактеристику случайной величины.

Вероятностныйсмысл математического ожидания:математическое ожидание приближенноравно среднему арифметическомунаблюдаемых значений случайной величины.

Свойстваматематического ожидания можносформулировать в виде теорем. Доказательстваэтих теорем будут приведены для дискретныхслучайных величин, однако, соответствующиетеоремы справедливы также и длянепрерывных случайных величин.

Прежде,чем формулировать свойства математическогоожидания необходимо выяснить смысл идать определение арифметическихопераций ,,ит.п., гдеи–дискретные случайные величины.

Например,под суммой понимаетсяслучайная величина,значениями которой являются вседопустимые суммы,гдеи–все возможные значения соответственнослучайных величини;причем соответствующие вероятностиравны:

.

Есликакая-нибудь комбинация невозможна,то условно полагают;это не отразится на математическоможидании суммы. Аналогично определяютсяи остальные операции.

Свойства математического ожидания

1. ТеоремаМатематическоеожидание постоянной величины равноэтой величине.

Доказательство.Постоянную величину можнорассматривать как случайную дискретнуювеличину, принимающую лишь одно возможноезначениесвероятностью.Поэтому.

2. ТеоремаМатематическоеожидание суммы двух (или нескольких)случайных величин иравноразности их математических ожиданий:

Доказательство:

1)Пусть случайная величина принимаетзначениясвероятностями(),а случайная величинапринимаетзначениясвероятностями().Тогда возможными значениями случайнойвеличиныбудутсуммы,вероятности которых равны:

.

Какуже отмечалось ранее, все комбинации()(,)можно считать допустимыми, причем, еслисумманевозможна,то полагаем, что.

Сумма представляетсобой вероятность события, состоящегов том, что случайная величинапринимаетзначенияприусловии, что случайная величинаприметодно из своих возможных значений (чтодостоверно); это сложное событие,очевидно, эквивалентно тому, чтопринимаетзначениеипоэтому.

Аналогично .

Тогда .

2)Для нескольких случайных величин,например для трех ,и,имеем:

,и т.д.

Следствие.Если –постоянная величина, то:

3. ТеоремаМатематическоеожидание произведения двух независимыхслучайных величин иравнопроизведению их математических ожиданий:

Доказательство. Пустьслучайная величина принимает значения(,)()и (,)()– законы распределения случайныхвеличини.Так каки–независимы, то полный набор значенийслучайной величинысостоитиз всех произведений(,),причем вероятности этих значений потеореме умножения для независимыхсобытий равны.

Следствие.Математическое ожидание произведениянескольких взаимно независимых случайныхвеличин равно произведению математическихожиданий этих величин.

Действительно,например, для трех взаимно независимыхслучайных величин ,и:

,и т.д.

Следствие.Постоянный множитель можно выноситьза знак математического ожидания,т.е..

Если –постоянная величина и–любая случайная величина, то, учитывая,чтои–независимы, получим:

.

Следствие.Математическое ожидание разности двухслучайных величин иравноразности их математических ожиданий:.

Доказательство

.

Примеры

  • Пусть случайная величина имеет дискретное равномерное распределение, то есть Тогда её математическое ожидание

равно среднему арифметическому всехпринимаемых значений.

  • Пусть случайная величина имеет непрерывное равномерное распределение на интервале , где. Тогда её плотность имеет види математическое ожидание равно

.

  • Пусть случайная величина имеет стандартноераспределение Коши. Тогда

,

то есть математическое ожидание неопределено.

Источник: https://studfile.net/preview/6196340/page:6/

Все о банке
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: